Parcours Mathématiques, Vision, Apprentissage

Le parcours Mathématiques, Vision, Apprentissage est proposé en cohabilitation avec l’ENS Cachan, l’École Polytechnique, TELECOM ParisTech, l’École Centrale de Paris, l’École Nationale des Ponts et Chaussées et l’Université Paris Dauphine.

Objectifs

Le parcours MVA est une formation mathématique et expérimentale avancée en analyse et probabilités permettant d’étudier tout un faisceau de concepts, modèles, et techniques mathématiques (ou informatiques) de haut niveau applicables à la vision, à la perception, à l’apprentissage, en focalisant les enseignements sur des domaines de recherche très actifs : la vision artificielle, l’analyse automatique du signal et de l’image, l’émulation des comportements perceptifs ou adaptatifs de l’homme. Ce parcours de master se place donc dans la perspective du développement rapide et passionnant des mathématiques appliquées à la modélisation et à l’émulation de l’intelligence humaine, développement soutenu par la montée en puissance accélérée des sciences du cerveau.

Débouchés

Au plan professionnel, des débouchés vers les grands laboratoires de recherche franco-européens, privés (Aérospatiale / Alcatel / Sagem/ General Electric / Matra / Philips / Siemens / Thomson / Xerox etc…) ou publics (CEA / CNES / INRA / INRIA / ISPRA / LETI etc…) sont évidemment ouverts aux bons thésards ou étudiants doctorants formés dans un master de ce type.

Les débouchés vers l’enseignement supérieur s’orienteront d’une part vers les départements de Mathématiques Appliquées, et d’autre part vers certains départements d’Informatique.

Programme

M1 Semestre 1 (Mathématiques et Modélisation)
UE Probabilités
Probabilités avancées (MMK1E11)

Probabilités avancées (MMK1E11)

cours: 30h TD: 30h

Objectifs :

Initiation aux processus en temps discret. Compréhension de l'espérance conditionnelle. Martingales à temps discret et les théorèmes de convergence associés.

Compétences acquises :

Espérance conditionnelle, martingale en temps discret

Programme:

Définition de l'espérance conditionnelle généraleTribus, temps d'arrêtMartingales à temps discretInégalités (maximale, Doob,...).Convergence presque sûre des martingalesConvergence dans L^p

UE Analyse
Analyse de Fourier (MMK1E13)

Analyse de Fourier (MMK1E13)

cours: 15h TD: 15h

Objectifs :

L'analyse de Fourier et ses prolongements (ondelettes, analyse harmonique, ...) jouent un rôlecentral dans beaucoup de problèmes de mathématiques appliquées (équations différentielles et équations aux dérivées partielles, analyse numérique, convolution, traitement du signal et de l'image, etc). L'objectif de ce cours est de donner des bases mathématiques solides dans ce domaine.

Compétences acquises :

Transformations de Fourier continue et discrète.Applications de la transformée de Fourier.

Programme:

* Rappels sur les séries de Fourier * Transformée de Fourier dans L1, propriétés, calculs. Liens avec la convolution. * Formule d'inversion. Impact de la régularité d'une fonction sur sa transformée de Fourier. * Transformée de Fourier dans L2: construction, propriétés, exemples. * Espace de Schwartz et transformée de Fourier. Stabilité. Propriétés de densité. * Transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide. Lien entre séries de Fourier, transformée de Fourier, et transformée de Fourier discrète. Applications.

Analyse fonctionnelle (MMK1E12)

Analyse fonctionnelle (MMK1E12)

cours: 15h TD: 15h

Programme:

Espaces de fonctions continues sur un compact (théorème d'Ascoli, théorème de Stone-Weierstrass), espaces de Hilbert (projection, base hilbertienne, adjoint), théorème de Banach-Steinhaus, dualité des espaces de Banach et de Hilbert (convergence faible, convergence faible-étoile, identification, théorème de représentation de Riesz, théorème de Lax-Milgram), applications compactes.


UE Algorithmique et optimisation
Programmation (MML1E21)

Programmation (MML1E21)

cours: 15h TP: 15h

Objectifs :

L'objectif de ce cours est de familiariser les étudiants avec la programmation et avec les logiciels de calcul scientifique.

Compétences acquises :

Connaître et maîtriser les structures basiques de la programmation (variables, scripts, boucles, récursivité) et les limites du calcul numérique. Etre capable de concevoir et de programmer des algorithmes simples dans un langage fonctionnel (par exemple Scilab, Matlab, Octave, R), afin de résoudre numériquement des problèmes de calcul scientifique et/ou de simuler des phénomènes concrets issus de différents domaines applicatifs (physique, biologie, etc.).

Programme:

Chaque séance donne lieu à l'implémentation d'algorithmes classiques d'analyse numérique. 1. Introduction2. Résolution de systèmes linéaires (Gram-Schmidt, décomposition LU)3. Traitement d'images (filtres et débruitage)4. Analyse de données (moindres carrés, K-means, RANSAC)5. Résolution d'équations non linéaires (dichotomie, Newton-Raphson)6. Simulations de phénomènes aléatoires

Optimisation (MML1E31)

Optimisation (MML1E31)

cours: 15h TP: 15h

Compétences acquises :

L'étudiant(e) apprend les notions fondamentales d'optimisation. Ces bases devront lui permettre d'aborder une grande partie des méthodes existantes afin de les adapter et appliquer à un problème donné.

Programme:

Rappels et compléments d'algèbre linéaire numérique :- factorisation LU et Cholesky pour systèmes linéaires ;- décomposition en valeurs singulières ;- résolution de systèmes au sens des moindres carrées ;Algorithmes de minimisation sans contrainte :- méthodes de descente, vitesse de convergence, minimisation en 1D ;- cas particuliers : méthode de descente du gradient, méthode de Newton et quasi-Newton, méthode du gradient conjugué, méthode de Gauss-Newton, méthode de Levenberg-Marquardt,Les algorithmes seront programmées et testées en travaux pratiquessur machine avec Scilab.

UE Spécialisation 1
Modélisation déterministe et application à la biologie (MML1E34)

Modélisation déterministe et application à la biologie (MML1E34)

cours: 15h TD: 15h

Programme:

EDO (Modélisation des phénomènes de naissance, mort, compétition, mutualisme, prédation. Dynamique des populations. Modèles proies-prédateurs de type Lotka-Volterra. Dynamique adaptative...). - EDP hyperboliques : phénomènes de transport (Principes généraux et propriétés mathématiques. Équation de renouvellement. Bioconvection. Écoulements physiologiques...). - EDP paraboliques : phénomènes de diffusion (Principes généraux et propriétés mathématiques. Équation de Fisher-KPP. Systèmes de réaction-diffusion. Morphogénèse et motifs de Turing...). - Méthodes de discrétisation. Simulations numériques

Théorie de l'information (MMK2E26)

Théorie de l'information (MMK2E26)

cours: 15h TD: 15h

Objectifs :

La théorie de l'information, inventée par Shannon en 1948, est non seulement à la base de toutesles communications numériques actuelles, mais séduit aussi par sa portée mathématique, physique, et philosophique qui va bien au-delà. L'objectif de ce cours est de comprendre les concepts fondamentaux de la théorie de l'information, à commencer par la notion d'entropie.

Compétences acquises :

Notions élementaires de théorie de l'information: entropie, codage.Principes de la communication à travers un canal bruité.

Programme:

* Arbres de décision et entropie algébrique. * Entropie probabiliste. Propriétés. * Entropie conditionnelle. Information mutuelle. Distance de Kullback. * Propriété d'équirépartition asymptotique. Suites typiques. * Codage: codes réguliers, déchiffrables, complets, codes de préfixe. * Inégalité de Kraft. Premier théorème de Shannon. * Codage de Huffman, optimalité. Lien entre codage et détermination de stratégies optimales. * Taux d'entropie de sources avec mémoire. Codage Lempel-Ziv. * Communication à travers un canal bruité. Deuxième théorème de Shannon. Example du code de Hamming 7,4. ***

Anglais (MML1E51)

Anglais (MML1E51)



M1 Semestre 2 (Mathématiques et Modélisation)
UE Statistiques
Statistiques (MMK2E11)

Statistiques (MMK2E11)

cours: 30h TD: 30h

Programme:

Modèle statistique, identifiabilité - Estimation de paramètre et comparaison
d'estimateurs - Lois empiriques et quantiles - Construction d'estimateurs par des méthodes de
substitution (moments, quantiles) et par maximum de vraisemblance - Modèles réguliers et
information de Fisher, efficacité - Intervalles de confiance - Régression linéaire multivariée -
Réduction des données, exhaustivité, complétude, familles exponentielles - Tests paramétriques,
hypothèses simples et complexes, Lemme de Neyman-Pearson, tests gaussiens.

UE Processus stochastiques
Chaînes de Markov (MMK2E21)

Chaînes de Markov (MMK2E21)

cours: 15h TD: 15h



Séries temporelles (MMK2E22)

Séries temporelles (MMK2E22)

cours: 15h TD: 15h

Programme:

Processus du second ordre : vecteurs et processus gaussiens. - Processus
stationnaire : fonction d'autocovariance, opérateur backward, filtrage linéaire, processus AR, MA,
ARMA, prédiction linéaire, équations de Yule-Walker. - Représentation spectrale : séries de Fourier, densité spectrale, théorème d'Herglotz, filtrage et densité spectrale, existence de solutions pour les
processus ARMA. - Estimation : estimation de la moyenne et de l'autocovariance

UE EDP et distributions
Méthodes variationnelles et EDP (MMK2E13)

Méthodes variationnelles et EDP (MMK2E13)

cours: 15h TD: 15h

Objectifs :

Présenter et étudier les équations aux dérivées partielles utilisées dans la modélisationdéterministe en médecine, biologie, mécanique, physique. On fera l'étude des propriétésdes équations et de leurs solutions au sens classique avant d'introduire la notion de solution faible. On abordera le problème de la résolution numérique à travers les schémas aux différences finies et la méthode des éléments finis.

Compétences acquises :

L'étudiant suit le chemin depuis la modélisation jusqu'à la résolution numérique sur des exemples standards d'e.d.p. Ceci lui permet de s'approprier les bases des techniques modernes de modélisation par e.d.p.

Programme:

Rappels et compléments d'analyse vectorielle.Modélisation de phénomènes de diffusion etéquations d'advection-réaction-diffusion.Schémas aux différences finies : consistance et stabilité.Équations aux dérivées partielles linéaires elliptiques d'ordre 2.Exemples classiques et formulation variationnelle.Introduction aux espaces de Sobolev.Méthode des éléments finis.

Distributions et théorie de l'échantillonnage (MMK2E12)

Distributions et théorie de l'échantillonnage (MMK2E12)

cours: 15h TD: 15h

Programme:

Fonctions tests et distributions, opérations sur les distributions (dérivation, multiplication par une fonction), distributions tempérées (transformée de Fourier, convolution), distributions à support compact, distributions périodiques (série de Fourier, formule sommatoire de Poisson), échantillonnage (théorème de Shannon-Nyquist).

UE Spécialisation 2
Optimisation sous contrainte (MMK2E14)

Optimisation sous contrainte (MMK2E14)

cours: 15h TP: 15h

Programme:

Existence et Unicité. Cas convexe – Différentielle au sens de Gâteau. Ellipticité. –
Condition d’optimalité du premier ordre. – Projection sur un convexe fermé. Exemples. Méthode du
gradient projeté. Conditions de Karush-Kuhn-Tucker. Points réguliers. Cas de contraintes affines.
Lagrangien. Dualité. Méthode d’Uzawa. Critère de convergence.

Bases pour le traitement d'image (MMK2E25)

Bases pour le traitement d'image (MMK2E25)

cours: 15h TP: 15h

Programme:

Ce cours a pour but, à partir de problèmes inverses classiques en traitement d'images (restauration, segmentation) et en s'appuyant sur des applications bio-médicales, de présenter des techniques de mathématiques appliquées qui permettent de donner une réponse à ces problèmes :Approches linéaires (transformée de Fourier, en ondelettes),Approches géométriques (morphologie mathématique, EDP, contours actifs),Approches stochastiques (méthodes bayesiennes, champs markoviens...).Des chaînes de traitement utilisant plusieurs de ces approches successivement seront aussi présentées.

UE Projet
Projet tutoré (MMK2U3)

Projet tutoré (MMK2U3)

Objectifs :

Savoir lire un article (qui peut être en Anglais), et apprendre à en faire la synthèse écrite et à l'exposer en un temps assez court (10 mn). La compréhension repose sur une implémentation informatique.

Atelier Cap Emploi (MML3E51)

Atelier Cap Emploi (MML3E51)

cours: 15h




M2 Mathématiques, Vision, Apprentissage

Candidatures

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